数学运用公式二教学设计参考

2.3.2 运用公式法（二）

●教学目标

（一）教学知识点

1.使学生会用完全平方公式分解因式.

2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.

（二）能力训练要求

在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.

（三）情感与价值观要求

通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.

●教学重点

让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.

●教学难点

让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.

●教学方法

观察—发现—运用法

●教具准备

投影片两张

第一张（记作2.3.2 A）

第二张（记作2.3.2 B）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？

在前面我们不仅学习了平方差公式

（a+b）（a－b）=a2－b2

而且还学习了完全平方公式

（a±b）2=a2±2ab+b2

本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.

Ⅱ.新课

1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.

［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？

［生］可以.

将完全平方公式倒写：

a2+2ab+b2=（a+b）2;

a2－2ab+b2=（a－b）2.

便得到用完全平方公式分解因式的公式.

［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点.

［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.

［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；

（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；

（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.

右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.

用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的'乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.

形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.

由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.

投影（2.3.2 A）

练一练

下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a+4;

（2）x2+4x+42;

（3）4a2+2ab+ b2;

（4）a2－ab+b2;

（5）x2－6x－9;

（6）a2+a+0.25.

［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.

［生］（1）是.

（2）不是；因为4x不是x与2乘积的2倍；

（3）是；

（4）不是不是a与b乘积的2倍.

（5）不是，x2与－9的符号不统一.

（6）是.

2.例题讲解

［例1］把下列完全平方式分解因式：

（1）x2+14x+49;

（2）（+n）2－6（ +n）+9.

［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.

解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2

（2）（ +n）2－6（ +n）+9=（ +n）2－2（ +n）×3+32=［（ +n）－3］2=（ +n－3）2.

［例2］把下列各式分解因式：

（1）3ax2+6ax+3a2;

（2）－x2－42+4x.

［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.

如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.

解：（1）3ax2+6ax+3a2

=3a（x2+2x+2）

=3a（x+）2

（2）－x2－42+4x

=－（x2－4x+42）

=－［x2－2x2+（2）2］

=－（x－2）2

Ⅲ.课堂练习

a.随堂练习

1.解：（1）是完全平方式

x2－x+ =x2－2x +（ ）2=（x－ ）2

（2）不是完全平方式，因为3ab不符合要求.

（3）是完全平方式

2+3 n+9n2

=（ ）2＋2× ×3n+（3n）2

=（ +3n）2

（4）不是完全平方式

2.解：（1）x2－12x+362

=x2－2x6+（6）2

=（x－6）2;

（2）16a4+24a2b2+9b4

=（4a2）2+24a23b2+（3b2）2

=（4a2+3b2）2

（3）－2x－x2－2

=－（x2+2x+2）

=－（x+）2;

（4）4－12（x－）+9（x－）2

=22－2×2×3（x－）+［3（x－）］2

=［2－3（x－）］2

=（2－3x+3）2

b.补充练习

投影片（2.3.2 B）

把下列各式分解因式：

（1）4a2－4ab+b2;

（2）a2b2+8abc+16c2;

（3）（x+）2+6（x+）+9;

（4） － +n2;

（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9;

（6） x2－x4－

解：（1）4a2－4ab+b2=（2a）2－22ab+b2=（2a－b）2;

（2）a2b2+8abc+16c2=（ab）2+2ab4c+（4c）2=（ab+4c）2;

（3）（x+）2+6（x+）+9

=（x++3）2;

（4） － +n2=（ ）2－2× ×n+n2=（ －n）2;

（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9

=［2（2a+b）］2－2×2（2a+b）×3+32

=［2（2a+b）－3］2

=（4a+2b－3）2;

（6） x2－x4－

=－（x4－ x2+ ）

=－［（x2）2－2x2 +（ ）2］

=－（x2－ ）2

Ⅳ.课时小结

这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：

（1）要求多项式有三项.

（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.

同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式.

Ⅴ.课后作业

习题2.5

1.解：（1）x22－2x+1=（x－1）2;

（2）9－12t+4t2=（3－2t）2;

（3）2++ =（+ ）2;

（4）252－80 +64=（5 －8）2;

（5） +x+2=（ +）2;

（6）a2b2－4ab+4=（ab－2）2

2.解：（1）（x+）2+6（x+）+9

=［（x+）+3］2

=（x++3）2;

（2）a2－2a（b+c）+（b+c）2

=［a－（b+c）］2

=（a－b－c）2;

（3）4x2－4x2－3

=（4x－4x2－2）

=－（4x2－4x+2）

=－（2x－）2;

（4）－a+2a2－a3

=－（a－2a2+a3）

=－a（1－2a+a2）

=－a（1－a）2.

3.解：设两个奇数分别为x、x－2,得

x2－（x－2）2

=［x+（x－2）］［x－（x－2）］

=（x+x－2）（x－x+2）

=2（2x－2）

=4（x－1）

因为x为奇数，所以x－1为偶数，因此4（x－1）能被8整除.

Ⅵ.活动与探究

写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式.

分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a和b；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解.

参考答案：

4a3b－4a2b2+ab3

=ab（4a2－4ab+b2）

=ab（2a－b）2

●板书设计

2．3．2 运用公式法（二）

一、1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点

投影片（2.3.2 A）

2.例题讲解

例1、例2

二、课堂练习

a.随堂练习

b.补充练习（投影片2.3.2 B）

三、课时小结

四、课后作业

●备课资料

参考练习

把下列各式分解因式

1.－4x－4x2－2;

2.3ab2+6a2b+3a3;

3.（s+t）2－10（s+t）+25;

4.0.25a2b2－abc+c2;

5.x2－6x+9;

6.2x32－16x2+32x;

7.16x5+8x32+x4

参考答案：

解：1.－4x－4x2－2

=－（4x2+4x+2）=－（2x+）2;

2.3ab2+6a2b+3a3=3a（b2+2ab+a2）=3a（a+b）2;

3.（s+t）2－10（s+t）+25=［（s+t）－5］2=（s+t－5）2;

4.0.25a2b2－abc+c2=（0.5ab－c）2;

5.x2－6x+9=（x2－6x+9）=（x－3）2;

6.2x32－16x2+32x=2x（x22－8x+16）=2x（x－4）2;

7.16x5+8x32+x4=x（16x4+8x22+4）=x（4x2+2）2.