高中数学必备函数知识点公式及练习题

(1)高中函数公式的变量：因变量，自变量。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。

(2)一次函数：①若两个变量间的关系式可以表示成为常数，不等于0)的形式，则称是的一次函数。

②当=0时，称是的正比例函数。

(3)高中函数的一次函数的图象及性质

①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

②正比例函数的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数中，当0，O，则经2、3、4象限;当0，0时，则经1、2、4象限;当0，0时，则经1、3、4象限;当0，0时，则经1、2、3象限。

④当0时，的值随值的增大而增大，当0时，的值随值的增大而减少。

(4)高中函数的二次函数：

如何应对高考数学难题？

这个，其实很多不了解这个，的难度并不是层层递增，有时候我们打个比方，这个应该叫做梯度螺旋上升，那个难度有点像这样了，就是上去了下来了，上去了下来了，就这种感觉。

你比如说选择题，1到8，肯定是逐渐变难，到了填空题，第一个肯定要比，就是试卷中的第9题，一定要比第8题简单，到了填空题又是重新来，所以这是梯度螺旋上升。所以一般我们说你别看小题的最后一道，肯定比解答题第一道还难，学生应该了解，其实命题为什么这么命题？其实也是体现了一种人文关怀，就是希望学生呢，你前面小题做得差不多，到了后面一些小困难的话，由简到难，他可能信心上起来，最后难题也能做出来了，这是很好的。

考生真是遇到不会做的题，很有可能是这个题型板块中比较靠后的，这个对于每个人来说都不太好做，以北京卷为例，84、20，这个题肯定不好做，你20题不会做根本不用什么难过，好多学生连看都不用看，所以这种题不会做不用很担心，不会做很正常，开句玩笑，你会做才不正常，你要是会做试卷没有区分度了。

所以很多学生不是末尾的题不会做，而是之前的题，就是螺旋上升中间的时候有点困难，这个时候心态会产生很大变化，他想知道遇到这个情况怎么处理，这个问题真的很好，你要考虑得非常全面，如果中不是末尾题，而是做到中间有困难应该怎么办？第一个还是心态很重要，你要知道，它前面从命题人角度来说，他不希望你这个题做到一半卡住，他可能最后的时候把这个分数收起来，不会让你得分，所以之前的题你不会做可能由于紧张，可能你刚上考场，比较紧，没有放开，一下卡住了，所以你千万别紧张，有时候我们说这时候你要冷静，平和一下心态，把好好分析分析，看看这个题突破口在哪儿？冷静思考思考，可能问题就解决了。

有时候我们说，其实你看，将来考试真是这，他每个题出来长得都是挺吓人的，我们小时候看的《西游记》一样，妖怪出来都挺吓人的，孙悟空一打，最后其实都是一些小动物，小猫小狗，题感觉都一样，每个题出来感觉都挺吓人，长得千奇百怪，尤其现在课标改了以后，它会考你读题和分析，所以每个题出来提纲都很长，很多人非常不适应处理这个题，所以你千万要冷静，别看这个题长得挺怪就吓住你了，所以重要思想就是转化和划归，你要把这个题转化成熟悉的问题，所以你一定要冷静，分析分析，其实这个题并不见得难度很大，所以调整好心态，比如深呼吸、放冷静，然后再看一看，分析分析，它到底是想考什么内容，给它准确定位，然后很可能这个题自然就出来了。

但是有些题我分析分析想一想还是挺难的，这个时候怎而办呢？你比如我举个例子，像全国有一年 高中化学，考的第一题选择题，就考了一个几何，他那个几何本身其实也不很难，他考了一个摩根定律，摩根定律准确说课本中其实是没有的，好多人连两项的摩根定律都记不住，而且那个题考的是三项摩根定律，所以第一题就考了，好多人上来考场，然后一做他就蒙了，就感觉今年废了，难道我数学一分都得不上，第一题就不会了，就感觉很紧张。

如果真是遇见这种题的话，你也不用太慌张，有时候我们就说什么情况呢？错误的想法，一看不会做的题，就是我完了，其实正确的想法应该是大家都完了，就是这些题可能也会出现，但是你千万别紧张，调整好心态。

然后如果是小题遇见的话，你必须先圈住，对吧，别着急在那儿纠结半天，好多人一个小题做十分钟，那个真是会影响后面解答题做的，所以你可以先圈住，可能你第一开始刚上考场，还是我说的，思维有点紧，然后你后面题做完了，你心态可能也平和一点了，回来再反攻，可能一些问题就可以做出来了，也不一定。

所以还是遇见这种真不会做的题，我们通常说，如果是选择填空，你可以先空下来，然后回来再去反攻，如果反攻还不行的话，就是我们说有时候小题是有技巧的，比如还是刚才那个，举的05年全国交考的那个题，它其实考了三个集合，三个集合并起来，等于（全集优），然后问你下列ABCD哪个正确，所以你不见得会做这个题，你可以用一些技巧。比如人家有的人很，他说三个集合并起来是（全集优），人家举个例子，我说第一个集合一二，然后二三，第二集合二三，第三集合三四，那么全集优就一二三四，我把我构造的这三个集合代到ABCD中去验证，就类似于这种小技巧，其实选择填空也可以用上。

如果遇到大题，如果真的不会，然后我又分析了半天也没有想到，这个时候我们应该怎么办？一般我们告诉学生就是，你就尽量写呗，因为将来考试，我们判卷也是这样，他不可能是你最后结果出来了，我就给你，你结果不正确我一分不给你，那不可能的，解答题他是论步给分，对吧，所以如果你要不会做你尽量写上，反正写错他也不扣分，所以你使劲往上写，把你会的都写，所有的提示都写上，将来起码会得到一些步骤分，所以你也不用太紧张，调整好你的心态，遇见不会做的题，首先是冷静，好好分析分析，现在课标改了以后，其实难题比重不会很大，像原来高考数学真是，用一句话说是很难很难的，有的题真的是太难了，我们都做不出来，像现在特别难的题比重在降低，有些题其实是比较灵活，所以你千万别紧张。

然后另外一个小题如果不会，可以多想一想技巧，看我能不能用其它技巧把它做出来，你选择题不能当填空题做，填空题也不能当解答题做，他是不计过程的，你各种办法做出来都可以，然后解答题遇到真不会做的，你就尽量写，顺着他那个题的意思，然后把你能写上去的都写上去。

其实他那个评分的时候，学生可能不知道，他拿的可能是评分细则，那个评分细则中，分数是精确到一分的，他有时候拿的标答里面，有时候可能只给两段，对吧，你第一部分做出来给你6分，第二部分做出来给你7分，实际上考试并不是这样的，实际上判卷的话，它可能会精确到一分一分的，有时候判卷，并不是给你挑错的，是给你对的，就是他会找你这个试卷中哪个地方会得分，所以你就尽量写，把你会的都写上去，得一些步骤分，这个其实很关键，就是这样。

三角形面积公式

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。 平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形。 三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。

面积公式：

（1）S＝ah/2

(2).已知三角形三边a,b,c，则 （海伦公式）（p=(a+b+c)/2）

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

(3).已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝1/2 * absinC

(4).设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r

S=(a+b+c)r/2

(5).设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R

S=abc/4R

(6).根据三角函数求面积：

S= absinC/2 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

注:其中R为外切圆半径。

3.4基本不等式

重难点：了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．

考纲要求：①了解基本不等式的证明过程．

②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．

经典例题：若a，b，c都是小于1的正数，求证：，，不可能同时大于．

当堂练习：

1. 若，下列不等式恒成立的是 （ ）

A． B． C． D．

2. 若且，则下列四个数中最大的是 （ ）

Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a

3. 设x>0,则的最大值为 （ ）

Ａ．3 Ｂ． Ｃ． Ｄ．－1

4. 设的最小值是( )

A. 10 B. C. D.

5. 若x, y是正数，且，则xy有 （ ）

Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值

6. 若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是 （ ）

A． B．

C． D．

7. 若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）

A． B． C． D．

8. a,b是正数，则三个数的大小顺序是 （ ）

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

9. 某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（ ）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

11. 函数的最大值为 .

12. 建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的.造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.

13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .

14. 若x, y为非零实数，代数式的值恒为正，对吗？答 .

15. 已知：, 求mx+ny的最大值.

16. 已知．若、, 试比较与的大小，并加以证明.

17. 已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求的最小值.

18. 设.证明不等式 对所有的正整数n都成立.

参考答案：

经典例题：

【 解析】 证法一 假设，，同时大于，

∵ 1－a>0，b>0，∴ ≥，

同理，.三个不等式相加得，不可能，

∴ (1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同时大于.

证法二 假设，，同时成立，

∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴ ，

即. （*） 又∵ ≤，

同理≤，≤，

∴≤与（*）式矛盾，

故不可能同时大于.

当堂练习：

1.A; 2.B; 3.C; 4.D; 5.C; 6.A; 7.B; 8.C; 9.C; 10.C;11. ; 12. 3600 ;

13. ; 14. 对;

15．

16. 【 解析】 ．

当且仅当＝时，取“＝”号．

当时，有．

即．

当时，有．

即

17. (1) (2)

18．【 解析】 证明 由于不等式

对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,得到

又因 以及

因此不等式对所有的正整数n都成立.

1.4常用逻辑用语单元测试

1．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是 （ ）

A．ab=0 B．a+b=0 C．a=b D．a2+b2=0

2．“至多有三个”的否定为 （ ）

A．至少有三个 B．至少有四个 C．有三个 D．有四个

3．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则肖像在 （ ）

A．金盒里 B．银盒里

C．铅盒里 D．在哪个盒子里不能确定

4．不等式 对于恒成立，那么的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

5．“a和b都不是偶数”的否定形式是 （ ）

A．a和b至少有一个是偶数 B．a和b至多有一个是偶数

C．a是偶数，b不是偶数 D．a和b都是偶数

6．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然

而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 （ ）

A．不拥有的人们不一定幸福 B．不拥有的人们可能幸福

C．拥有的人们不一定幸福 D．不拥有的人们不幸福

7．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则 （ ）

A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假

8．条件p：，，条件q：，，则条件p是条件q的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．即不充分也不必要条件

9．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是 （ ）

A．－＜x＜3 B．－＜x＜0 C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6

10．设原命题：若a+b≥2，则a,b 中至少有一个不小于1。则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）

A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真

C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题

11．下列命题中_________为真命题．

①“A∩B=A”成立的必要条件是“AB”；

②“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题；

③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；

④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题。

12．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为___ _____。

13．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件,q是s的充分条件，则s是q的 条件，r是q的 条件，p是s的 条件。

14．设p、q是两个命题，若p是q的充分不必要条件，那么非p是非q的 条件。

15．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。

（1）矩形的对角线相等且互相平分；

（2）正偶数不是质数。

16．写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假.

（1）p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除。

（2）p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形。

17．给定两个命题,

：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围。

18．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么

（1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）p是q的什么条件？

19．设0<a, b, c<1，求证：（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a不同时大于．

20．求证：关于x的方程x2+2ax+b=0 有实数根，且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b| ≤4.

参考答案：

1.D; 2.B; 3.B; 4.B; 5.A; 6.D; 7.B; 8.A; 9.D; 10.A; 11. ②④; 12. 平行四边形不一定是菱形；或至少存在一个平行四边形不是菱形; 13. 必要，充分，必要;14. 必要不充分

15．本题考查四种命题间的关系．

解：（1）逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形（假命题）．

否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分（假命题）．

逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形（真命题）．

（2）逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数（假命题）．

否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数（假命题）．

逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数（假命题）．

16．解：（1）根据真值表，复合命题可以写成简单形式：

p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除.

p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除.

非p：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除.

∵连续的三整数中有一个（或两个）是偶数，而有一个是3的倍数，

∴p真，q真，∴p或q与p且q均为真，而非p为假.

（2）根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式：

p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形.

p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形.

非p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形.

∵p假q假，∴p或q与p且q均为假，而非p为真.

17．解：对任意实数都有恒成立

；关于的方程有实数根；如果P正确，且Q不正确，有；如果Q正确，且P不正确，有。所以实数的取值范围为。

18．本题考查充要条件、充分条件、必要条件．对于这类问题，将语言叙述符号化，画出它们的综合结构图，再给予判定．

解：p、q、r、s的关系如图所示，由图可知

答案：（1）s是q的充要条件 （2）r是q的充要条件 （3）p是q的必要条件

19．证明：用反证法，假设，①+②+③得：

，左右矛盾，故假设不成立，∴（1－a）b,（1－b）c，（1－c）a不同时大于.

20．解析：先证充分性，而必要性只需要通过举反例来否定.

先证明条件的充分性：

∴方程有实数根 ①

①、②知“a≥2且|b|≤4” “方程有实数根，且两根均小于2”.

再验证条件不必要：

∵方程x2－x=0的两根为x1=0, x2=1，则方程的两根均小于2，而a=－<2，

∴“方程的两根小于2” “a≥2且|b|≤4”.

综上，a≥2且|b|≤4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件.